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Syntax.agda
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{-# OPTIONS --safe #-}
module ROmega.Terms.Syntax where
open import Agda.Primitive
open import ROmega.Kinds
open import ROmega.Types
open import ROmega.Types.Substitution
open import ROmega.Equivalence.Syntax
open import ROmega.Entailment.Syntax
--------------------------------------------------------------------------------
-- Environments.
data Env : {ℓ : Level} → KEnv ℓ → Level → Set where
ε : ∀ {ℓΔ} {Δ : KEnv ℓΔ} →
Env Δ lzero
_,_ : ∀ {ℓΔ} {Δ : KEnv ℓΔ} {ℓΓ ℓκ} →
Env Δ ℓΓ → Type Δ (★ ℓκ) → Env Δ (ℓΓ ⊔ ℓκ)
-- Weakening of the kinding env.
weakΓ : ∀ {ℓΔ} {Δ : KEnv ℓΔ} {ℓΓ ℓκ} {κ : Kind ℓκ} →
Env Δ ℓΓ → Env (Δ , κ) ℓΓ
weakΓ ε = ε
weakΓ (Γ , τ) = weakΓ Γ , rename S τ
--------------------------------------------------------------------------------
-- Variables.
data Var : ∀ {ℓΔ} {Δ : KEnv ℓΔ} {ℓΓ ℓκ} {κ : Kind ℓκ} →
Env Δ ℓΓ → Type Δ κ → Set where
Z : ∀ {ℓΔ : Level} {Δ : KEnv ℓΔ} {ℓΓ}
{Γ : Env Δ ℓΓ} {ℓτ} {τ : Type Δ (★ ℓτ)} →
Var (Γ , τ) τ
S : ∀ {ℓΔ : Level} {Δ : KEnv ℓΔ} {ℓΓ} {Γ : Env Δ ℓΓ}
{ℓυ ℓτ} {τ : Type Δ (★ ℓτ)} {υ : Type Δ (★ ℓυ)} →
Var Γ υ → Var (Γ , τ) υ
--------------------------------------------------------------------------------
-- Synonyms, used later.
SynT : ∀ {ℓΔ ℓκ} {Δ : KEnv ℓΔ} →
(κ : Kind ℓκ) → (ρ : Type Δ R[ κ ]) →
(φ : Type Δ (κ `→ ★ ℓκ)) → Type Δ (★ (lsuc ℓκ))
SynT {ℓΔ} {ℓκ} κ ρ φ =
`∀ (L {lzero}) (`∀ κ (`∀ R[ κ ] ((l R▹ u) · y ~ ρ' ⇒
(⌊_⌋ {ι = lzero} l `→ φ' ·[ u ]))))
where
ρ' = weaken (weaken (weaken ρ))
φ' = weaken (weaken (weaken φ))
y = tvar Z
u = tvar (S Z)
l = tvar (S (S Z))
AnaT : ∀ {ℓΔ ℓκ ℓτ} {Δ : KEnv ℓΔ} →
(κ : Kind ℓκ) → (ρ : Type Δ R[ κ ])
(φ : Type Δ (κ `→ ★ ℓκ)) (τ : Type Δ (★ ℓτ)) →
Type Δ (★ (ℓτ ⊔ lsuc ℓκ))
AnaT {ℓΔ} {ℓκ} {ℓτ} κ ρ φ τ =
`∀ (L {lzero}) (`∀ κ (`∀ R[ κ ] ((l R▹ u) · y ~ ρ' ⇒
⌊_⌋ {ι = lzero} l `→ φ' ·[ u ] `→ τ')))
where
ρ' = weaken (weaken (weaken ρ))
φ' = weaken (weaken (weaken φ))
τ' = weaken (weaken (weaken τ))
y = tvar Z
u = tvar (S Z)
l = tvar (S (S Z))
FoldT : ∀ {ℓΔ ℓκ ℓυ} {Δ : KEnv ℓΔ} →
(ρ : Type Δ R[ ★ ℓκ ])(υ : Type Δ (★ ℓυ)) →
Type Δ (★ (ℓυ ⊔ lsuc ℓκ))
FoldT {ℓκ = ℓκ} ρ υ =
`∀ (L {lzero}) (`∀ (★ ℓκ) (`∀ R[ ★ ℓκ ] ((l R▹ t) · y ~ ρ' ⇒
⌊_⌋ {ι = lzero} l `→ t `→ υ')))
where
ρ' = weaken (weaken (weaken ρ))
υ' = weaken (weaken (weaken υ))
y = tvar Z
t = tvar (S Z)
l = tvar (S (S Z))
--------------------------------------------------------------------------------
-- Terms.
module TermSyntax
(Ent :
∀ {ℓΔ ℓΦ ℓκ}
{κ : Kind ℓκ}
(Δ : KEnv ℓΔ) → PEnv Δ ℓΦ → Pred Δ κ → Set) where
data Term : ∀ {ℓΔ} (Δ : KEnv ℓΔ) {ℓΦ ℓΓ ℓτ} → PEnv Δ ℓΦ → Env Δ ℓΓ → Type Δ (★ ℓτ) → Set where
------------------------------------------------------------
-- System Fω.
var : ∀ {ℓΔ} {Δ : KEnv ℓΔ} {ℓΦ ℓΓ ℓτ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {τ : Type Δ (★ ℓτ)} →
Var Γ τ →
-------------
Term Δ Φ Γ τ
`λ : ∀ {ℓΔ} {Δ : KEnv ℓΔ} {ℓΦ ℓΓ ℓτ ℓυ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {υ : Type Δ (★ ℓυ)}
(τ : Type Δ (★ ℓτ)) → Term Δ Φ (Γ , τ) υ →
-------------------------------------
Term Δ Φ Γ (τ `→ υ)
_·_ : ∀ {ℓΔ} {Δ : KEnv ℓΔ} {ℓΦ ℓΓ ℓτ ℓυ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {τ : Type Δ (★ ℓτ)} {υ : Type Δ (★ ℓυ)} →
Term Δ Φ Γ (τ `→ υ) → Term Δ Φ Γ τ →
----------------------------
Term Δ Φ Γ υ
`Λ : ∀ {ℓΔ} {Δ : KEnv ℓΔ} {ℓΦ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ} {Γ : Env Δ ℓΓ}
{ℓκ ℓτ} (κ : Kind ℓκ) {τ : Type (Δ , κ) (★ ℓτ)} →
Term (Δ , κ) (weakΦ Φ) (weakΓ Γ) τ →
----------------------------------------------------
Term Δ Φ Γ (`∀ κ τ)
_·[_] : ∀ {ℓΔ} {Δ : KEnv ℓΔ} {ℓΦ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {ℓκ ℓτ}
{κ : Kind ℓκ} {τ : Type (Δ , κ) (★ ℓτ)} →
Term Δ Φ Γ (`∀ κ τ) → (υ : Type Δ κ) →
----------------------------------
Term Δ Φ Γ (τ β[ υ ])
------------------------------------------------------------
-- Qualified types.
`ƛ : ∀ {ℓΔ} {Δ : KEnv ℓΔ} {ℓΦ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ} {Γ : Env Δ ℓΓ}
{ℓκ ℓτ} {κ : Kind ℓκ} {τ : Type Δ (★ ℓτ)} →
(π : Pred Δ κ) → Term Δ (Φ , π) Γ τ →
-------------------------------------
Term Δ Φ Γ (π ⇒ τ)
_·⟨_⟩ : ∀ {ℓΔ} {Δ : KEnv ℓΔ} {ℓΦ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ} {Γ : Env Δ ℓΓ}
{ℓκ ℓτ} {κ : Kind ℓκ} {π : Pred Δ κ} {τ : Type Δ (★ ℓτ)} →
Term Δ Φ Γ (π ⇒ τ) → Ent Δ Φ π →
----------------------------------
Term Δ Φ Γ τ
------------------------------------------------------------
-- System Rω.
-- labels.
lab : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓL ι} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ}
(l : Type Δ (L {ℓL})) →
----------------------------------------
Term Δ Φ Γ (⌊_⌋ {ι = ι} l)
-- singleton introduction.
_▹_ : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓL ℓκ ι} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ}
{τ : Type Δ (L {ℓL})} {υ : Type Δ (★ ℓκ)} →
(M₁ : Term Δ Φ Γ (⌊_⌋ {ι = ι} τ)) (M₂ : Term Δ Φ Γ υ) →
----------------------------------------
Term Δ Φ Γ (τ ▹ υ)
-- singleton elimination.
_/_ : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓL ℓκ ι} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ}
{τ : Type Δ (L {ℓL})} {υ : Type Δ (★ ℓκ)} →
(M₁ : Term Δ Φ Γ (τ ▹ υ)) (M₂ : Term Δ Φ Γ (⌊_⌋ {ι = ι} τ)) →
----------------------------------------
Term Δ Φ Γ υ
-- The empty record.
-- (Not a part of pen-and-paper calculus.)
∅ : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ι} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ} →
-----------
Term Δ Φ Γ (∅ {ι = ι})
-- record introduction.
_⊹_ : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓρ} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ}
{ρ₁ ρ₂ ρ₃ : Type Δ (R[ ★ ℓρ ])} →
(M : Term Δ Φ Γ (Π ρ₁)) (N : Term Δ Φ Γ (Π ρ₂)) →
(π : Ent Δ Φ (ρ₁ · ρ₂ ~ ρ₃)) →
------------------------------
Term Δ Φ Γ (Π ρ₃)
-- record "elimination".
prj : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓρ} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ}
{ρ₁ ρ₂ : Type Δ (R[ ★ ℓρ ])} →
(M : Term Δ Φ Γ (Π ρ₁)) → (π : Ent Δ Φ (ρ₂ ≲ ρ₁)) →
------------------------------
Term Δ Φ Γ (Π ρ₂)
-- Singleton → Singleton Record.
Π : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓL ℓκ} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ}
{τ : Type Δ (L {ℓL})} {υ : Type Δ (★ ℓκ)} →
Term Δ Φ Γ (τ ▹ υ) →
---------------------
Term Δ Φ Γ (Π (τ R▹ υ))
-- Singleton Record → Singleton.
Π⁻¹ : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓL ℓκ} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ}
{τ : Type Δ (L {ℓL})} {υ : Type Δ (★ ℓκ)} →
(M : Term Δ Φ Γ (Π (τ R▹ υ))) →
----------------------------------------
Term Δ Φ Γ (τ ▹ υ)
-- Subsumption.
t-≡ : ∀ {ℓΔ ℓΦ ℓΓ ℓτ} { Δ : KEnv ℓΔ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ} {Γ : Env Δ ℓΓ}
{τ υ : Type Δ (★ ℓτ)} →
(M : Term Δ Φ Γ τ) → τ ≡t υ →
----------------------------
Term Δ Φ Γ υ
-- Variant introduction.
inj : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓρ} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ}
{ρ₁ ρ₂ : Type Δ (R[ ★ ℓρ ])} →
(M : Term Δ Φ Γ (Σ ρ₁)) → (Ent Δ Φ (ρ₁ ≲ ρ₂)) →
----------------------------------------------
Term Δ Φ Γ (Σ ρ₂)
-- Singleton Record → Singleton.
Σ : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓL ℓκ} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ}
{τ : Type Δ (L {ℓL})} {υ : Type Δ (★ ℓκ)} →
Term Δ Φ Γ (τ ▹ υ) →
---------------------
Term Δ Φ Γ (Σ (τ R▹ υ))
-- Singleton Variant → Singleton.
Σ⁻¹ : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓL ℓκ} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ}
{τ : Type Δ (L {ℓL})} {υ : Type Δ (★ ℓκ)} →
(M : Term Δ Φ Γ (Σ (τ R▹ υ))) →
----------------------------------------
Term Δ Φ Γ (τ ▹ υ)
-- Variant elimination.
_▿_ : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓρ ℓκ} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ}
{ρ₁ ρ₂ ρ₃ : Type Δ (R[ ★ ℓρ ])} {τ : Type Δ (★ ℓκ)} →
Term Δ Φ Γ ((Σ ρ₁) `→ τ) →
Term Δ Φ Γ ((Σ ρ₂) `→ τ) →
Ent Δ Φ (ρ₁ · ρ₂ ~ ρ₃) →
------------------------------
Term Δ Φ Γ ((Σ ρ₃) `→ τ)
-- Synthesis.
syn : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓκ} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ} {κ : Kind ℓκ}
(ρ : Type Δ R[ κ ]) →
(φ : Type Δ (κ `→ ★ ℓκ)) →
Term Δ Φ Γ (SynT κ ρ φ) →
--------------------------
Term Δ Φ Γ (Π (⌈ φ ⌉· ρ))
-- Analysis.
ana : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓκ ℓτ} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ} {κ : Kind ℓκ}
(ρ : Type Δ R[ κ ]) →
(φ : Type Δ (κ `→ ★ ℓκ)) →
(τ : Type Δ (★ ℓτ)) →
Term Δ Φ Γ (AnaT κ ρ φ τ) →
--------------------------
Term Δ Φ Γ (Σ (⌈ φ ⌉· ρ) `→ τ)
-- Fold.
fold : ∀ {ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓκ ℓυ} {Δ : KEnv ℓΔ} {Γ : Env Δ ℓΓ} {Φ : PEnv Δ ℓΦ}
{ρ : Type Δ R[ ★ ℓκ ]} {υ : Type Δ (★ ℓυ)} →
(M₁ : Term Δ Φ Γ (FoldT ρ υ)) →
(M₂ : Term Δ Φ Γ (υ `→ (υ `→ υ))) →
(M₃ : Term Δ Φ Γ υ) →
(N : Term Δ Φ Γ (Π ρ)) →
------------------------
Term Δ Φ Γ υ
--------------------------------------------------------------------------------
-- admissable rules.
private
variable
ℓΔ ℓΓ ℓΦ ℓκ ℓτ : Level
Δ : KEnv ℓΔ
Γ : Env Δ ℓΓ
Φ : PEnv Δ ℓΦ
κ : Kind ℓκ
Ł : Type Δ L
τ : Type Δ κ
prj▹ : {ρ : Type Δ R[ ★ ℓκ ]} →
Term Δ Φ Γ (Π ρ) → Ent Δ Φ ((Ł R▹ τ) ≲ ρ) →
------------------------------------------
Term Δ Φ Γ (Ł ▹ τ)
prj▹ r e = Π⁻¹ (prj r e)
inj▹ : {ρ : Type Δ R[ ★ ℓκ ]} →
Term Δ Φ Γ (Ł ▹ τ) → Ent Δ Φ ((Ł R▹ τ) ≲ ρ) →
---------------------------------------------
Term Δ Φ Γ (Σ ρ)
inj▹ s e = inj (Σ s) e